Les données

On possède deux spectres d'Arcturus pris à six mois d'intervalle l'un de l'autre. Le premier (représenté en bleu) est pris quand la Terre se déplace dans la direction de la longitude écliptique d'Arcturus. Le second spectre (en rouge) est pris, six mois plus tard, quand la Terre se déplace à l'opposé de la première direction.
Arcturus a une latitude écliptique L _Arcturus = 30,8°.

Vous trouverez ci-dessous un fichier EXCEL contenant données et graphe...

Les deux spectres sont représentés avec le spectre de calibration (en noir) qui donne, de gauche à droite, trois fortes raies d'émission de longueurs d'onde : l₁ = 428,241 nm l₂ = 429,413 nm l₃ = 429,924 nm.

Comment utiliser ces spectres

Montrez tout d'abord que si nous pouvions connaître la vitesse orbitale de la Terre, il serait possible d'en déduire la distance Terre-Soleil.

Justement, les spectres vont nous permettre de mesurer cette vitesse. Il faut d'abord comprendre quelles sont les positions de la Terre, du Soleil et d'Arcturus, quand les spectres ont été pris. On peut représenter le plan de l'écliptique, la Terre tournant autour du Soleil dans ce plan, et la direction Arcturus-Soleil, faisant un angle de 30,8° avec le plan de l'écliptique. Dessiner les deux positions de la Terre, quand les clichés ont été pris.

Expliquez pourquoi le spectre rouge est décalé vers les grandes longueurs d'onde et le spectre bleu vers les courtes longueurs d'onde. Montrer que, du décalage entre les deux spectres, on peut déduire le double de la vitesse orbitale de la Terre. Ne pas oublier de prendre en compte le fait que la Terre ne se dirige pas exactement vers Arcturus puisque l'étoile n'est pas dans le plan de l'écliptique.

Avec le spectre d'étalonnage, calculer l'échelle des spectres, en nanomètre par millimètre. Calculer le décalage entre les deux spectres d'Arcturus, pour au moins une raie d'absorption bien visible. En déduire la vitesse orbitale de la Terre et la distance Terre-Soleil.

Pour simplifier le problème, il est possible de faire le calcul avec la raie située entre les pixels 800 et 900, car c'est une des raies d'étalonnage.

La bonne réponse:

Il faut utiliser la relation Doppler-Fizeau. En utilisant les deux raies extrêmes de calibration on trouve que l'échelle est de 0,01483 nm/mm. Le décalage est de 5 mm (c'est-à-dire 0,074 nm) à la longueur d'onde 429,413 nm (on prend le décalage de la raie entre 800 et 900 pixels). On écrit que le décalage cDl/l_o = 2V cos(L_Arcturus), avec :

l_o = 429,413 nm.
c est la vitesse de la lumière.

On trouve pour la vitesse orbitale de la Terre V = 30 km/s.

La Terre met 365,25 jours pour faire un tour complet autour du Soleil. En supposant la vitesse constante, la longueur de l'orbite est de :

On en tire la distance Terre-Soleil :