Les lois fondamentales de la mécanique de Newton

par Georges Paturel last modified 2010 Apr 15 14:06


Avant d'introduire les lois fondamentales de sa nouvelle mécanique, Newton a défini les grandeurs physiques qu'il allait utiliser : La masse (quantité de matière), la quantité de mouvement (produit de la masse par la vitesse) et la force. En fait, Newton a introduit plusieurs types de forces et d'autres quantités qui ne seront pas utiles ici. Notons cependant que Newton avait commencé de distinguer la masse inerte (masse qui fait qu'un corps résiste à un changement de mouvement) et la masse grave (masse qui intervient dans l'expression de la gravité universelle). Cette distinction subtile sera érigée en principe par Einstein lorsqu'il imagina la théorie de la Relativité Générale.

Les lois de Newton étaient au nombre de trois :

 

    • Première loi : La Loi d'inertie.
      En l'absence de force extérieure, la quantité de mouvement (produit de la masse par la vitesse) d'un système demeure constante.

       

    • Deuxième loi : Relation fondamentale de la dynamique.
      Si une force agit sur un corps, le corps accélère dans la direction de la force. La variation de la quantité de mouvement par unité de temps est égale à la force (F = D(mv)/Dt).
      Cette expression est très générale. Notons qu'en mécanique purement newtonienne, la masse étant constante, l'expression de la force se simplifie et prend la forme bien connue :

      F = m.a

      où a est l'accélération (variation de la vitesse par unité de temps)

       

    • Troisième loi : Loi de la réaction.
      Les forces sont toujours mutuelles. Si un corps exerce une force sur un autre corps, ce dernier réagit sur le premier avec une force égale et opposée.

       

L'attraction universelle :
A ces lois il faut ajouter l'expression de la force d'attraction universelle entre deux masses m et M, quelconques. La mesure de cette force (ce qu'on appelle la norme de la force) est :

 

F=GMm/R2

R la distance qui sépare les deux masses M et m qui s'attirent. G est une constante de proportionnalité dont la valeur est 6,67 10-11 quand les masses sont exprimées en kilogramme, la force en Newton et la distance R en mètre. Nous consacrons une section particulière à la loi de la gravitation universelle.

Cette loi n'a pas été démontrée par Newton. Il l'a proposée et, comme les conséquences qu'il en a tirées s'accordaient avec les observations, la loi s'est trouvée vérifiée. Les astronomes comme Clairaut ont parfois douté de la justesse de cette loi. Mais finalement, la loi s'est révélée juste du moins jusqu'à l'avènement de la théorie de la Relativité Générale dont nous reparlerons en temps voulu.

Force transversale : Nous allons donner une relation très utile, qui exprime, de manière générale, l'accélération que subit une masse en mouvement sous l'effet d'une force transversale (perpendiculaire à la direction de sa vitesse V). L'expression de cette accélération est : a=V 2/R, où R est le rayon de la trajectoire du corps en mouvement autour du centre attractif. La démonstration simplifiée est donnée dans l'encadré ci-dessous. Si cette accélération est produite par une masse M, qui agit sur m par une force de Newton F=GMm/R2, que va-t-il se passer ? Cette force va produire sur m une accélération GM/R2, donc GM/R2 = V2/R, soit en simplifiant :

 

GM/R= V2

Si V est constant, R sera constant puisque G et M le sont. La masse m continuera perpétuellement à tourner autour de M à la distance R, comme la Terre autour du Soleil, comme la Lune autour de la Terre.

 

 

Accélération produite par une force transversale modifiant la direction d'un corps en mouvement

La première démonstration de cette accélération, dite centripète, fut donnée par C. Huygens (1629-1695).
La démonstration ci-dessous montre comment trouver le résultat simplement. Une démonstration plus générale requièrt l'application du calcul "différentiel".

Nous allons appliquer une relation importante : d/D=a (en radians) si a est petit.

 

 

 

 

Imaginons un corps de masse m se déplaçant à la vitesse V en ligne droite. Faisons agir sur ce corps une force perpendiculaire à la direction de sa vitesse.
La vitesse initiale va changer de direction pour devenir V'. Une petite composante v va donc apparaître, dirigée vers le centre M, point de concours des perpendiculaires aux directions de V et V'. L'accélération prise par m en direction de M est, par définition de l'accélération : a=v/t, t étant le temps supposé très court, pendant lequel l'action a lieu.
On a donc v=a.t.
En considérant le graphique ci-dessous, on voit que v/V= tan a a (car a est très petit). On a donc : a = a t / V.
Mais m se sera déplacé d'une longueur V t sur un arc de rayon R.
Donc a = V t / R. En égalisant les deux expression de a on trouve l'accélération cherchée :

 

a=V2/R.

Notons que t peut être choisi aussi petit que l'on veut puisqu'il n'intervient pas explicitement. Ceci justifie les approximations que nous avons faites.

 

 

 

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