Définitions de la parallaxe

Une définition rigoureuse pourrait être la suivante : " La parallaxe désigne l'angle que font entre elles les deux directions de visée d'un objet observé simultanément depuis deux endroits différents ".
Mais le schéma suivant en dit sans doute tout autant :

Vues depuis A et B, la parallaxe du Soleil S est b_s et la parallaxe de la planète P est b_p .

Application au cas d'un " passage " devant le Soleil

S_A et S_B sont les " images " de la planète sur le disque du Soleil, respectivement observées depuis les observatoires A et B.

b_S et b_p désignent respectivement les parallaxes du Soleil et de la planète vues depuis les deux observatoires de la Terre. Afin de simplifier le raisonnement, nous avons tracé une parallèle à (AS_A) passant par B. Notons que b_p désigne aussi l'écart angulaire entre S_A et S_B vu depuis la Terre.

La figure montre sans ambiguïté que Db est égal à b_p - b_s. Donc, Db est la différence entre les parallaxes de la planète et du Soleil. En utilisant les observations depuis deux points de la Terre, on est donc en mesure de déterminer la valeur de cet angle b.

Les calculs généraux

Appelons d_T et d_P les distances respectives de la Terre et de la planète au Soleil.

Puisque l'angle b_p est ici très petit, nous pouvons écrire que la distance AB entre les deux observatoires est égale au produit de l'angle b_p exprimé en radians par la distance séparant les deux planètes, soit :

De même, avec b_s et d_T nous pouvons écrire :

Nous pouvons en déduire les expressions des deux parallaxes :

Il est alors facile d'exprimer l'angle b en radians à partir de ces équations :

En posant d_T - d_P = k dT, (où k n'est autre que la mesure de la distance Terre-Planète lors du passage, exprimée en Unités Astronomiques) nous obtenons alors :

Db = [ AB (1- k) ] / ( k d_T )

et

C'est cette expression que nous utiliserons plus loin pour obtenir le résultat de la distance Terre-Soleil.

Calcul de la distance AB entre les lignes de visée

Pour mesurer la distance Terre-Soleil, nous avons donc besoin de deux photos prises au même instant depuis deux villes aussi éloignées que possible. Nous devons déterminer précisément la distance AB entre les droites parallèles menées depuis ces deux villes en direction du Soleil.

Une solution élégante et simple consiste à obtenir une image de la Terre, telle qu'elle pourrait être observée depuis le Soleil à l'instant de la prise de vue : on y repère les deux villes A et B et l'on calcule la distance AB en la mesurant sur l'image et en la comparant au diamètre (bien connu depuis Eratosthène ! ) de notre planète.
C'est très facile à partir du site: www.fourmilab.ch/cgi-bin/uncgi/Earth

Une autre solution consiste à utiliser une mappemonde et à y matérialiser les lignes de visée pour mesurer leur séparation. La photo ci-dessous est explicite.

La distance entre les lignes de visée

La valeur de k pourra être calculée en UA à partir des périodes de révolution des planètes : Les orbites de la Terre et de Vénus sont pratiquement circulaires et leurs rayons obéissent à la 3ème loi de Képler ; le calcul est assez simple. On trouve k = 0,275.

Pour Mercure, c'est un peu plus délicat mais encore possible en effectuant quelques hypothèses simplificatrices...

Deux photos du passage prises depuis A et B nous permettront de mesurer Db par comparaison avec le diamètre apparent du Soleil, assez facilement mesurable à la date du passage, pourvu qu'elles soient superposables et orientées de la même façon : s'il s'agit d'une image numérique, il sera possible d'additionner les images, en faisant bien coïncider les deux disques solaires, puis de mesurer le diamètre (en pixels) du disque solaire (dont on connaît le diamètre angulaire) et la distance (en pixels) entre les centres des images de la planète. Un simple " produit en croix " permettra alors de calculer l'angle Db.