Relations Période-Luminosité et Tully-Fisher

Relation Période luminosité dans notre Galaxie

Par la méthode géométrique des parallaxes, le satellite HIPPARCOS nous a donné les modules de distance m, pour quelques étoiles variables Céphéides, dont la période de variation P était connue (en jours). Pour ces étoiles nous avons mesuré la magnitude apparente moyenne < m >, en bande V (visible). Ces étoiles étant proches du plan galactique, leurs magnitudes apparentes sont affectées par l'extinction due aux poussières interstellaires. Il faut appliquer une correction (voir l'approfondissement). L'extinction affecte la couleur de l'étoile. L'estimation de l'excès de couleur E, permet de retrouver l'extinction en magnitude, par la loi d'extinction moyenne. La relation est simple : Extinction = Av = 3E. La magnitude corrigée de l'extinction est donc :

A partir du tableau des données ci-dessous, calculer la magnitude apparente corrigée pour les quatre étoiles. Avec le module de distance, en déduire les magnitudes absolues M, puis tracer la relation Période-Luminosité, sous la forme

Application aux Céphéides extragalactiques des galaxies proches

Avec de puissants télescopes, il est possible de voir des étoiles Céphéides dans quelques galaxies proches comme Messier 31 (Andromède), Messier 33 (galaxie du triangle) ou Messier 81. En supposant que les Céphéides sont régies par les mêmes lois que celles qui régissent les Céphéides galactiques, nous pouvons leur appliquer la relation Période-Luminosité trouvée précédemment. Nous avons choisi une étoile Céphéide typique, pour chacune des trois galaxies considérées.

Il faut donc calculer, comme précédemment, la magnitude apparente moyenne corrigée de l'extinction interstellaire. Puis on calcule la magnitude absolue, avec la période observée P et la relation PL. Finalement, on déduit le module de distance pour chacune des trois étoiles. Ce module de distance est évidemment le module de distance de la galaxie qui abrite l'étoile Céphéide considérée. On obtient ainsi le module de distance (donc la distance). Essayez de calculer les modules de distance des trois galaxies proches que nous avons considérées.

Distance des galaxies de Virgo par la relation de Tully-Fisher

Nous venons d'obtenir les modules de distances pour trois galaxies proches. Nous avons mesuré les magnitudes totales mc de ces trois galaxies et les avons corrigées de l'extinction galactique, comme nous l'avons vu précédemment pour les étoiles. Ensuite, en radioastronomie, nous avons obtenu les largeurs W de la raie de l'hydrogène neutre à 21 cm de longueur d'onde. Enfin, sur des photos nous avons mesuré le rapport b/a du demi petit axe sur le demi grand axe de l'ellipse qui entoure les régions externes des trois galaxies. Nous avons toutes les données pour tracer la relation de Tully et Fisher.

• 1) Examinez les raies 21 cm obtenues en radio. Expliquez pourquoi il y a deux pics. Mesurez ensuite la largeur à 20% du maximum, pour Messier 31 et Messier 33. Contrôlez que vos mesures sont en accord avec les données du tableau.

   

• 2) Montrez que pour estimer correctement la vitesse maximale de rotation, V_M, il faut faire une correction d'inclinaison : V_M = W / 2 sin i. En supposant que le disque de la galaxie est infiniment plat, trouvez une approximation de 2 sin i en fonction de b/a et calculez les vitesses maximales de rotation pour les trois galaxies.

   

• 3) Calculez la magnitude absolue M, à partir des magnitudes apparentes totales corrigées et des modules de distances trouvés précédemment. Tracez la relation M = c log V_M + d. Déterminez les constantes c et d. Cette relation est la relation dite de Tully et Fisher, une des relations les plus précises pour déterminer la distance des galaxies spirales.

Application de la relation TF aux galaxies de Virgo

Nous allons calculer la distance pour trois galaxies membres de l'amas Virgo, en appliquant la relation TF établie précédemment.

• 1) Calculer les vitesses maximales de rotation comme précédemment en appliquant la correction d'inclinaison.

   

• 2) En déduire les magnitudes absolues en appliquant la relation TF que vous avez trouvée précédemment. Trouvez alors le module de distance et la distance pour les trois galaxies membres de l'amas Virgo.

   

• 3) La mesure d'un très grand nombre de vitesses radiales de galaxies, membres de Virgo, conduit à trouver la vitesse cosmologique moyenne de tout l'amas. On trouve V_cosmo = 1 200 km/s. Avec la distance moyenne que vous avez trouvée pour Virgo, calculez la constante de Hubble. Calculez l'inverse de la constante de Hubble en milliards d'années. Le temps correspondant est le temps de Hubble. Il donne l'ordre de grandeur de l'âge de l'univers.

Réponses

L'exercice ne présente pas de difficultés particulières. Il ne vise qu'à faire comprendre la démarche pour mesurer les distances, depuis les étoiles de notre Galaxie jusqu'à des galaxies, assez lointaines pour nous permettre de calculer la constante de Hubble et l'âge de l'univers.

La relation période luminosité est à peu près : M = -2.60 log P -1.45 ;
les modules de distance des trois Céphéides hébergées par les galaxies étalon sont :

• µ(M31 : FIII-15) = 24,7
• µ(M81:C19) = 27,8
• µ(M33:V5) = 24,6

Ce sont les modules de distance que nous adopterons pour les trois galaxies étalon.

La correction d'inclinaison peut s'écrire V_M = W/2 sin i ; où i est l'angle d'inclinaison de la galaxie, défini comme l'angle entre la ligne de visée et l'axe polaire de la galaxie.

On peut approximer :

car cos i = b/a pour une galaxie infiniment plate.
On trouve alors une relation TF :

En appliquant cette relation aux trois galaxies de Virgo, on trouve les modules de distances suivants : 31,6 ; 31,4 ; 32,7, dont la moyenne est 31,9 ± 0,4, soit une distance de l'ordre de 24 ±5 Mpc. La constante de Hubble est alors H = 1 200/24 = 50 ± 10 (km/s)/Mpc.

La conversion des unités montre que le temps de Hubble, exprimé en milliards d'années, est environ T = 1 000/H, H étant en (km/s)/Mpc. On obtient

T 20 milliards d'années.