Il s’agit ici de reprendre un « article historique» de l’astronomie, et de le relire sous forme de travail dirigé,  faire pour soi ou avec des élèves. Les solutions sont proposées.
Sont ici nécessaires juste un peu de trigonométrie, la notion de barycentre et… de la matière grise !

Les données

Les données sont, dans l’article, deux tableaux, ceux des pages 161 (28 amas) et 165-166 (41 amas). Ces deux tableaux sont mis bout à bout ci-dessous.
Tout système de repérage des objets astronomiques entraîne un choix un peu arbitraire, en fonction du côté pratique que nous y trouvons. Ici, la Galaxie sera privilégiée, par définition ! Ce sont donc des coordonnées galactiques que va utiliser Shapley : le système solaire appartient au plan de la Galaxie, un objet sera repéré par sa longitude et sa latitude galactiques exprimées en degrés, relativement à un pôle choisi dans la direction du centre (voir la figure 1 qui illustre ce système).
Un objet de latitude galactique nulle, sera donc dans le plan galactique. Bien entendu, comme toujours en astronomie, la quantité manquante,… et vitale, est la distance qui nous sépare de cet objet et qui doit être déterminée de façon indépendante.

Figure 1

(Rappel : 1 parsec est environ 3.26 années-lumière)

  Activité proposée

Etude de la répartition en longitude

Il s’agit simplement de faire un histogramme en comptabilisant les amas sur des intervalles de longitude d’amplitude 15°. On peut déjà  faire des remarques. Lesquelles ?

L'histogramme (voir figure 2) présente un vide de 45° à 145° et, par contre,  une concentration vers 315-345°. Ces deux zones sont, de plus, séparées d’environ 180°.

Figure 2 

 Quelle remarque peut-on faire ? Si les amas sont répartis de façon uniforme dans le halo galactique, nous pouvons penser que le Soleil n’est déjà  pas proche du centre du système.

En effet, nous observons un volume dÂ’espace plus grand vers la longitude galactique 315°-345° que vers 45°-195°, le Soleil est donc sans doute décentré dans cette direction (voir figure 3).

Figure 3

Où se trouve ce centre par rapport au Soleil ?
C’est l’isobarycentre des amas. Nous pouvons calculer simplement ses coordonnées dans le plan que nous avons privilégié.
Pour suivre l’article de Shapley, nous ne garderons que les amas situés à moins de 15 000 parsecs du plan galactique : c’est la bande délimitée par les pointillés.
Le but est d’obtenir une population aussi complète que possible.
Nous obtenons alors avec les 59 amas restants les coordonnées suivantes : x = 160.4  et z = –2

En conclusion
Ainsi le centre de la galaxie se trouve à la longitude galactique 325°, à la latitude galactique 0°  (c’est la direction du Sagittaire) et à une distance d’environ 16 000  parsecs (160 à—100 parsecs).

Figure 4

Si d est la distance nous séparant de l'amas, si x est la coordonnée en direction de la longitude 325°, et z celle destinée à compléter le repère de ce plan,
en notant lon la longitude et lat la latitude, on a :
z = d.sin (lat)  et x = d.cos (lat).cos (lon-325)

Le travail consiste donc à  placer dans un repère d'unité 100 parsecs, les points de coordonnées x et z. Et à faire des remarques...

La figure 5 nous servira pour faire quelques observations.
Remarquons tout d'abord que le plan galactique est un plan de symétrie. C’est plutôt rassurant !
Une bande d'épaisseur 4000 parsecs correspond au disque de la galaxie, on n'y voit que très peu d’amas (zone où z est compris entre +20 et –20 en unités de 100 parsecs).
Le Soleil a une position excentrique (notée par une étoile sur le graphique) dans l’ensemble des amas globulaires. Nous ne sommes donc pas au centre de la Galaxie !

Où se trouve ce centre par rapport au Soleil ?

C’est l’isobarycentre des amas. Nous pouvons calculer simplement ses coordonnées dans le plan que nous avons privilégié. Pour suivre l’article de Shapley, nous ne garderons que les amas situés à moins de 15 000 parsecs du plan galactique : c’est la bande délimitée par les pointillés. Le but est d’obtenir une population aussi complète que possible.
Nous obtenons alors avec les 59 amas restants les coordonnées suivantes : x = 160.4  et z = –2

En conclusion

Ainsi le centre  de la galaxie se trouve à  la longitude galactique 325°, à la latitude galactique 0°  (c’est la direction du Sagittaire) et à  une distance d’environ 16 000  parsecs (160à—100 parsecs).

La direction déterminée par Shapley était exacte, mais la distance actuelle au centre de la Galaxie est aujourd’hui estimée à 28 000 al, soit environ 8 600 parsecs. Soit environ moitié moins. 
Shapley reconnaissait lui-même qu'il fallait plus d'amas pour une meilleure détermination. Mais le principal problème vient de l’absorption de la lumière par le gaz et la poussière qu’elle rencontre sur son trajet. Ce n’est que vers 1930 que cet effet fut vraiment compris, et le problème de l’absorption reste tout à  fait d’actualité, qu’il s’agisse de l’absorption dans notre Galaxie, ou de celle qui se produit quand on observe à l’intérieur d’une autre galaxie.
Il existe des catalogues d’amas globulaires plus récents. J’ai refait l’expérience avec le catalogue de R. Monella (1985). Il peut être téléchargé via le site du Centre de Données Astronomique de Strasbourg (http://cdsweb.u-strasbg.fr) à la rubrique catalogue (VII/103 : catalogue of galactic globular clusters). Nous avons les coordonnées et la distance de 143 amas. Le même travail donne x = 71 et z = -7. Soit une distance du centre galactique d’environ 7 100 parsecs. Ce qui n’est pas un mauvais résultat compte-tenu de la simplicité de la méthode.
L’idée de base de  Shapley reste très intéressante, elle montre, une fois de plus, comment la réflexion permet de mesurer et franchir des espaces inaccessibles…