Aristarque de Samos et Eratosthène

Aristarque est né en -310 et mort en -230. Il a travaillé à Alexandrie en Egypte, ville fondée en -330 par Alexandre le Grand, roi de Macédoine. Il a calculé la distance Terre-Lune, même s'il ne connaissait pas le rayon de la Terre qui fut déterminé plus tard par Eratosthène. Il a essayé en vain de déterminer la distance Terre Soleil. Eratosthène est né en -276 à Cyrène en Libye et mort en -230. Il a réussi à déterminer le rayon de la Terre.

Mesure de la distance Terre-Lune

Aristarque de Samos eut l'idée géniale d'utiliser l'observation d'une éclipse de Lune pour calculer la distance Terre-Lune. Nous supposerons que le rayon de la Terre est connu. En fait Aristarque ne connaissait pas encore ce rayon et son résultat fut donné en unité du rayon de la Terre.

Calcul naïf.
Si on mesure la durée d'une éclipse de Lune (passage de la Lune dans l'ombre de la Terre) on peut estimer facilement la distance Terre-Lune. En effet, en supposant que ce passage se fait par le centre du "cylindre d'ombre", la longueur que doit parcourir la Lune dans l'ombre est de 12 800 kilomètres. Si la durée est de 4 heures, on déduit que la vitesse de déplacement de la Lune sur son orbite est de 12 800/4 = 3 200 km par heure. Or la Lune a besoin d'un mois (700 heures) pour faire un tour complet autour de la Terre. Donc la longueur de cette circonférence est 700 x 3 200, c'est-à-dire 2 240 000 kilomètres. D'où le rayon de l'orbite cherchée : 357 000 kilomètres, qui n'est pas une mauvaise estimation de la distance Terre-Lune. Nous verrons pourquoi, fortuitement, cette méthode simple peut donner un bon résultat.

Méthode historique.
Aristarque constata que le diamètre apparent de la Lune pouvait se reporter trois fois dans le disque d'ombre (Figure 1).

Le diamètre vrai de la Lune se déduit simplement du diamètre du cylindre d'ombre : 12 800/3 = 4 267 km.

Or le diamètre apparent de la Lune est de 0,5 degré. On trouve alors immédiatement la distance Terre-Lune D par la relation classique (pour les angles petits) :

Cette valeur est un peu trop élevée. Cela tient au fait que l'on a considéré que l'ombre de la Terre était un cylindre alors qu'en réalité c'est un cône.

Comment faire la correction de cet effet ? Nous allons montrer que l'angle du cône est égal au diamètre apparent du Soleil (rappelons que ce diamètre apparent est égal à celui de la Lune, soit 0,5 degré - c'est pour cette raison que nous pouvons observer des éclipses de Soleil, la Lune pouvant masquer exactement le Soleil)

Comme on le voit sur la figure 2, l'angle du cône peut se tracer à partir de la Terre. Or le diamètre de la Terre est 100 fois plus petit que le diamètre du Soleil (on ne le saura que plus tard mais on pouvait supposer que le Soleil était bien plus gros que la Terre). Le point C peut donc se confondre avec le point B, de sorte que l'angle du cône peut effectivement se confondre avec le diamètre apparent du Soleil.

Dans ces conditions, on voit aisément (figure 3) que la Lune se reporte effectivement trois fois dans l'ombre de la Terre, mais que le diamètre de cette ombre n'est pas de 12 800 kilomètre mais de 12 800 kilomètres moins le diamètre de la Lune. Dit autrement, le diamètre de la Lune se reporte quatre fois dans les 12 800 kilomètres. En répétant le calcul vu plus haut, on trouve la diamètre de la Lune 3 200 kilomètre et sa distance D= 370 000 kilomètres.

On comprend pourquoi la mesure de la durée de l'éclipse pouvait donner une valeur exacte. En effet, si cette durée est mesurée depuis l'instant où la Lune entre dans l'ombre jusqu'au moment où elle en sort, cela revient à majorer le diamètre de l'ombre du diamètre de la Lune, donc à corriger de l'effet du cône d'ombre.

Méthode utilisable facilement avec des élèves.
Si on prend une photographie pendant une éclipse (Photo 1), on peut assez facilement calculer le diamètre de la Lune. Pour cela on essaye d'ajuster un cercle pour tracer le rayon de l'ombre, sur la photo. On détermine de la même façon le diamètre de la Lune, sur la photo. On peut ainsi déterminer directement combien de fois la Lune peut se reporter dans l'ombre de la Terre. On est ramené à la méthode historique d'Aristarque de Samos.

On peut dire qu'Aristarque a réussi à transporter son unité de longueur terrestre au niveau de la Lune en utilisant l'ombre de la Terre, sans pouvoir atteindre la Lune. Comment ferons nous pour le Soleil et les étoiles ? Nous allons le voir bientôt.

Méthodes modernes.
Aujourd'hui, grâce aux réflecteurs posés sur la surface lunaire par les missions spatiales, il est possible de mesurer le temps de trajet aller et retour de la lumière entre la Terre et la Lune, et donc de déduire la distance à partir de la vitesse de la lumière. La distance Terre-Lune est mesurée ainsi avec une précision de quelques centimètres. Pour cela, il faut envoyer un puissant faisceau laser en direction de la Lune, à un instant très précis. La lumière réfléchie par les réflecteurs posés sur le sol lunaire est recueillie à l'aide d'un télescope, couplé au laser. L'enregistrement du temps précis de réception donne donc le temps de trajet aller-retour. En multipliant ce temps par la vitesse de la lumière on obtient le double de la distance Terre-Lune. Pour connaître la distance Terre-Lune avec une précision de 30 cm il faut mesurer le temps de trajet de la lumière avec une précision de l'ordre de la nanoseconde (10^-9 seconde, c'est-à-dire un milliardième de seconde).