Dans cet article nous allons voir la démonstration de la célèbre relation prouvant l'équivalence entre la masse et l'énergie, déjà pressentie par plusieurs auteurs, en particulier pour l'origine électromagnétique de la masse de l'électron (Kaufmann, 1901 ; Abraham, 1903). Voici ce qu'écrivait Poincaré en 1905 :

La première démonstration de l'inertie de l'énergie par Einstein est de 1905. La démonstration est plus complexe que celle que nous allons expliquer ici, publiée en 1946 sous le titre : "Une démonstration élémentaire de l'équivalence entre masse et énergie" (cf. Albert Einstein, Œuvres choisies, tome 2, Editions Seuil/CNRS).

La démonstration ne fait appel qu'à trois lois classiques : 1) la conservation de la quantité de mouvement 2) la pression de radiation (quantité de mouvement d'une onde électromagnétique) 3) l'aberration de la lumière (composition de la vitesse de la source et de la vitesse de la lumière).

Considérons un corps B, au repos par rapport à un référentiel Ko. Deux groupes d'onde lumineuse l'éclairent brièvement avec une énergie E/2 chacune, de part et d'autre (voir schéma), de sorte que son immobilité n'est pas altérée par la quantité de mouvement E/2c fournie par chacune des deux sources.

Examinons B depuis un référentiel K, se déplaçant par rapport à Ko avec une vitesse v, perpendiculaire à la direction des deux sources S et S'. Les deux rayonnements ont, pour K, une direction qui fait un angle a avec la direction SS'. La loi de l'aberration de la lumière nous dit qu'en première approximation : a=v/c. Avant l'absorption du rayonnement par B, la quantité de mouvement totale du système est :

Après absorption du rayonnement par B, la masse est M', en anticipant "le fait que la masse puisse augmenter lors de l'absorption" (sic). La quantité de mouvement est :

La conservation de la quantité de mouvement Q₁ = Q₂ conduit à la relation :

Cette équation exprime la loi d'équivalence entre énergie et masse.