Nous reproduisons ci-dessous la démonstration historique, établissant les fondements de la Relativité restreinte. En fait, la démonstration de 1905 était assez longue et difficile à suivre. Einstein a trouvé une démonstration plus simple en 1907. C'est celle que nous reproduisons, avec quelques compléments pour expliquer les calculs.

Dans l'article de 1905, Einstein définit tout d'abord les deux postulats de sa nouvelle théorie :

• 1) Le principe de relativité qui affirme qu'aucune expérience mécanique ou électrodynamique ne peut permettre de déceler un mouvement de translation uniforme. C'était une conviction pour Poincaré également (voir la rubrique "commentaires".

   

• 2) La vitesse de la lumière dans le vide est constante indépendamment de la vitesse de la source émettrice.

Einstein montrera que ces deux postulats ne sont pas incompatibles, car il faut reconsidérer la notion de simultanéité des événements (voir encore la rubrique "commentaires").

Einstein discute ensuite la notion de simultanéité et de relativité des longueurs. Il conclut qu'il n'est pas possible d'attribuer un sens absolu à la simultanéité ou à la longueur. Seules ont un sens précis les mesures faites dans un référentiel donné avec des horloges et des règles en repos par rapport à ce référentiel.

Einstein considère alors deux systèmes de coordonnées : l'un S{x,y,z,t}, l'autre S'{x',y',z',t'}. Ces deux référentiels sont supposés en translation uniforme l'un par rapport à l'autre, avec une vitesse uniforme v, de telle sorte que l'axe x de S coïncide avec l'axe x' de S'. Les grandeurs x, y, z, t fixent un événement relativement au système S. Ce même événement est fixé par les grandeurs x', y', z', t', relativement au système S'. Il faut trouver les équations qui lient ces grandeurs entre elles. Les équations cherchées doivent être linéaires du fait de l'homogénéité du temps et de l'espace. L'origine du temps dans les deux systèmes est choisie au moment où les origines des coordonnées coïncident.

Lisons Einstein :

"De la position, maintenant connue, des plans de coordonnées de S' relativement à S, nous concluons immédiatement que les équations des couples suivants sont équivalentes :

x' = 0 x - v.t = 0,
y' = 0 y = 0 et
z' = 0 z = 0

Trois des équations de transformation cherchées sont donc de la forme :

Comme la vitesse de propagation de la lumière dans le vide est égale à c par rapport aux deux systèmes, les deux équations :

doivent être équivalentes. D'où l'on conclut, compte tenu des expressions qui viennent d'être trouvées pour x', y', z' et après un calcul simple que les équations de transformation cherchées doivent être de la forme :

Nous allons maintenant déterminer la fonction de v restée jusqu'ici indéterminée. Introduisons un troisième système de référence S", équivalent à S et S', se déplaçant par rapport à S' à la vitesse -v [...]; alors, en appliquant deux fois les équations auxquelles nous venons d'aboutir, nous obtenons : [ ...]

Comme en outre la relation entre y et y' ne peut pas dépendre du signe de v, il vient :

On a donc :