La transformation de Lorentz
Un calcul simple, Monsieur Einstein !
ÉNONCÉ
Lisez la rubrique "approfondissement" sur la transformation de Lorentz. Nous y reproduisons une des démonstrations originales de la transformation de Lorentz, telle que Einstein l'a publiée.
Vous verrez, qu'il dit quelque part, après avoir posé les bases de la démonstration, que les équations de transformation peuvent alors être établies de manière simple.
Essayez d'établir ces équations... Vous verrez que ce n'est pas tout à fait aussi simple qu'on peut le penser.
CORRECTION
Quand Einstein dit que les équations de transformation peuvent être établies par un calcul "simple", cela était sans doute vrai pour lui, mais pas pour nous.
Sans faire précisément le calcul, donnons le moyen de parvenir au résultat:
On commence par noter que C = B, par raison de symétrie. Par ailleurs, nous choisirons d'écrire la constante A sous la forme : A = B.b, où b sera une nouvelle constante à déterminer. Nous avons donc les équations de transformation :
x' = B.b (x - vt)
y' = B.y
z' = B.z.
Ecrivons maintenant que t' se transforme linéairement en fonction des autres coordonnées x et t et posons :
t' = B.b (a.t + g.x),
B . b . a et B . b . g formant les deux constantes de proportionnalité.
Reportons les expressions de x', y', z' et t' dans l'expression et regroupons les termes en x2, y2, z2, t2 et en xt, puis identifions membre à membre avec l'équation x2 + y2 + z2 = c2 t2 . Notons au passage que la constante B disparaît et reste indéterminée. C'est en fait la valeur B = j (v) de l'article d'Einstein.
L'expression devant le terme xt sera identiquement nulle puisqu'il n'y a pas de terme en xt, dans l'équation :
x2 + y2 + z2 = c2 t2.
L'expression devant le terme t2 sera égale à c2, etc.
On obtient ainsi trois équations :
On peut tirer
En égalant les deux expressions de 1/b2, on tire une équation du second degré en a2. On trouve quatre solutions :
Les solutions en v/c sont dégénérées (elles conduisent à une transformation identiquement nulle en t' et x').
Des deux autres solutions, seule la solution a = 1 est acceptable, pour que t et t' varient dans le même sens.
A partir de là tout est vraiment simple.
On trouve les expressions des différentes constantes et donc les équations de transformation.