La distance des planètes au Soleil.

Dans le tableau, ligne 1, ces distances sont données en unités astronomiques, c'est à dire que l'unité utilisée est la distance Terre - Soleil égale à environ 150 millions de km.
Si l'on prend comme échelle 1 m pour 1 unité astronomique, il nous suffira d'un espace de 40 m pour situer les planètes par rapport au Soleil. Il n'est pas rare de trouver de telles distances dans nos établissements scolaires (couloir) ou à proximité (cour de récréation ou terrain de sport).
Le couloir impose que le Soleil et toutes les planètes soient situées sur une même ligne, ce qui n'est pas le cas usuel, et ne doit donc pas se figer dans la mémoire des élèves. Si on dispose d'un espace plus vaste on pourra positionner les planètes à la bonne distance bien sûr du Soleil, mais dans des directions différentes. On pourra même tenir compte de leur longitude écliptique héliocentrique à une date donnée. On peux aussi choisir une échelle telle qu'on puisse situer les différentes planètes sur le plan d'une ville ou la carte d'une région.

Comparaison du diamètre des planètes à celui du Soleil.

La ligne 2 du tableau fournit les diamètres des planètes exprimés en km. Le diamètre du Soleil est de 1,400 million de km.
Si on représente le Soleil par un disque de 14 cm de diamètre, on obtient une échelle facile à utiliser pour dessiner les différentes planètes (1,3 mm pour la Terre !) à l'intérieur de ce disque.

Représentation simultanée des distances au Soleil et des diamètres du Soleil et des planètes à la même échelle.

Si l'on garde 1 m pour représenter la distance Soleil - Terre, de 150 millions de km, le Soleil est alors représenté par un disque de diamètre 9,3 mm et la Terre est 100 fois plus petite ! Il faut une autre échelle.

On peut, par exemple, décider que la plus petite planète sera représentée par une sphère de diamètre de 1 mm, on aura alors une échelle qui imposera l'espace à utiliser pour placer les planètes.
Soit Pluton (2 324 km) représenté par une sphère de diamètre 1 mm, on aura :

pour la Terre : 5,5 mm,
le Soleil : 602 mm, soit 60,2 cm,
1 U.A : 64 544 mm, soit 64,5 m,
la distance de Pluton : 2 581 755 mm, soit 2,58 km.

Cette distance est déjà très grande, il faut bien sûr adapter l'échelle aux exigences locales. En prenant 1 mm pour la Terre, on réduit la taille du système solaire à 470 m.

Représentation des plans de révolution des planètes par rapport au plan de l'écliptique.

La ligne 3 du tableau nous donne l'inclinaison du plan de l'orbite de chaque planète sur le plan de l'écliptique.
Le plan de l'écliptique est le plan de révolution de la Terre autour du Soleil.
On pourra tracer une ligne horizontale représentant le plan de l'écliptique " vu de face ". Le Soleil sera au milieu de cette ligne dont la longueur de chaque côté sera égale à la distance Soleil - Pluton, soit par exemple 8 cm pour 40 U.A.
Pour chaque planète, tracer la ligne correspondant à son plan de révolution faisant l'angle indiqué avec le plan de l'écliptique, et noter la position de cette planète en fonction de l'échelle choisie, d'un côté ou de l'autre du Soleil, pour bien montrer qu'elles ne sont pas systématiquement toutes du même côté.
On peut constater alors que toutes les planètes gravitent autour du Soleil pratiquement dans le même plan.

Attention : Le schéma obtenu pourra faire penser que les lignes de plus grande pente des plans de révolution des planètes autour du Soleil sont toutes dans un même plan vertical ; il n'en est rien, ces différents plans ont des orientations différentes qui de plus changent.

Aspect de la trajectoire des planètes autour du Soleil.

D'après les lois de Kepler, la trajectoire des planètes autour du Soleil est une ellipse dont le Soleil occupe un des foyers. La ligne 4 du tableau donne d'ailleurs la distance moyenne de la planète au Soleil, ce qui prouve que cette distance est variable.
Une ellipse est la figure géométrique plane décrite par un point M dont la somme des distances à deux points fixes F et F', est constante. F et F' sont appelés foyers de l'ellipse.

On peut facilement dessiner une ellipse en appliquant cette définition, par la méthode dite des jardiniers.
Fixer une feuille de papier sur une planche ou un carton fort. Tracer une droite AA' et un point central C. Planter deux épingles en deux points F et F' équidistants de C, y fixer un fil de longueur convenable FM+MF'.
En plaçant un crayon en M et en " tournant " autour de F et F' tout en maintenant les deux brins de fil tendus, on tracera une demi ellipse, puis l'autre.

La ligne 4 du tableau donne l'excentricité des trajectoires des planètes. Cette grandeur, e, représente le rapport des distances CF à CA. e = CF/CA.
Si e = 0, F et F' sont confondus en C, et l'ellipse est un cercle.
Si e = 1, F et F' sont confondus avec A et A', et l'ellipse se réduit au segment AA'.

Activité proposée :

• Tracer un cercle. Faire une boucle à chaque extrémité de la ficelle, placer ces deux extrémités en C avec une épingle et tracer le cercle en maintenant les deux brins bien tendus. Il faut bien sûr choisir la longueur du fil en relation avec le papier choisi.
• Tracer une ellipse d'excentricité e = 0,5. La longueur du segment AA' a été déterminée par le dessin précédent, on peut donc, en utilisant la définition de l'excentricité, calculer les positions de F et F' où l'on placera alors les deux épingles.
• On peut répéter l'expérience avec une excentricité de 0,25 par exemple et observer comment se modifie l'ellipse. A quelle planète correspond cette excentricité ?
• Faire la même opération en prenant la valeur de l'excentricité de la trajectoire de la Terre, e = 0,0167.

On constate que cette trajectoire est confondue avec le cercle déjà dessiné.
La trajectoire de la Terre autour du Soleil est en théorie une ellipse, mais doit être représentée par un cercle car son excentricité est très faible.

Remarque : Représenter la trajectoire de la Terre autour du Soleil par un cercle plutôt que par une ellipse est une modélisation. Comme toute modélisation elle est utilisable dans certaines conditions et pas dans d'autres.

Ainsi, ce modèle montre bien que l'existence des saisons ne peut pas être du à une variation de la distance Terre - Soleil, car cette distance est quasiment constante.
Cependant, ce modèle amènerait à déduire que les durées des saisons sont les mêmes. Un calcul à partir du calendrier montrera facilement que l'automne et l'hiver de l'hémisphère Nord sont plus courts que le printemps et l'été. Cela est du au fait que la trajectoire est effectivement une ellipse et que pendant l'automne et l'hiver de l'hémisphère Nord, la Terre se trouve plus près du Soleil et se déplace alors plus vite sur sa trajectoire (Cf. Lois de Kepler).

Construction d'un planétaire.

Un planétaire est un dispositif permettant de représenter un modèle du système solaire. Ce modèle doit permettre de décrire le mouvement des planètes et d'en déduire certaines informations. La précision souhaitée des informations entraîne à réaliser un modèle plus ou moins sophistiqué. Pour réaliser un planétaire il faut utiliser d'une part les résultats précédents : les planètes ont des trajectoires quasi circulaires, situées pratiquement toutes dans le plan de l'écliptique, et d'autres part des informations supplémentaires : la période sidérale de révolution de chaque planète et sa longitude écliptique héliocentrique à une date donnée.

Période sidérale (ligne 5). C'est la durée nécessaire à une planète pour faire un tour complet de sa trajectoire, l'origine étant repérée par une direction fixe.

Longitude écliptique héliocentrique : C'est l'angle que fait, à une date donnée, la direction du rayon Soleil - planète avec une direction fixe passant par le Soleil, cet angle étant mesuré, dans le sens direct, dans le plan de l'écliptique.

La direction fixe est celle du point g ou Point Vernal. C'est la direction du Soleil, vu de la Terre, à l'équinoxe de printemps.
La longitude écliptique héliocentrique des planètes est calculée par l'Institut de Mécanique Céleste et de Calcul des Ephémérides (IMCCE) et disponible sur son site Internet :
Le tableau ci-dessous donne ces valeurs à la date du 1er mai 2005.

Réalisation d'un planétaire simple comprenant le Soleil, Mercure, Vénus, la Terre et Mars.

(On a vu que les distances au Soleil des planètes suivantes sont beaucoup plus grandes, ce qui nécessite un autre planétaire).

• Dans des chemises cartonnées de couleurs différentes, découper des disques de rayons proportionnels à la distance Soleil - planète. On pourra prendre 5 cm de rayon pour 1 U.A.(Distance Soleil - Terre).

   

• Sur chaque disque noter la position de la planète correspondante, mois après mois, sur 1 an, connaissant sa période de révolution. On pourra considérer des mois égaux de 30 jours.

  Attention : les planètes tournent dans le sens trigonométrique direct c'est à dire en sens inverse des aiguilles d'une montre.
  Ainsi chaque mois la Terre tourne d'un angle de (360°/365j )x30j = 30° et Mercure de (360°/88j)x30j =123°.

  Remarque : pour Mercure il sera judicieux de noter ces positions avant de découper le disque puisque celui-ci, à l'échelle choisie, est plus petit que les rapporteurs usuels.

   

• On fixe ensuite ces disques, les uns sur les autres, dans l'ordre croissant, à l'aide d'une épingle passant par leur centre (le Soleil) sur une feuille cartonnée. Ces disques sont alors mobiles autour de l'épingle.

   

• Position des planètes à une date donnée (ici, 1er mai 2005).
  Sur la feuille cartonnée, on trace un rayon issu du Soleil dans une direction arbitraire. C'est la direction du point vernal, ou point g.

   

  • Position du disque Mars : on le tourne jusqu'à ce que la direction g fasse avec la direction Soleil - Mars au 1^er mai un angle de 288°. On fixe alors avec un petit morceau de papier adhésif ce disque sur la feuille cartonnée.

     

  • Position du disque Terre : on le tourne jusqu'à ce que la direction g fasse avec la direction Soleil - Terre au 1^er mai un angle de 221°. On fixe alors avec un petit morceau de papier adhésif ce disque sur le disque Mars.

     

Et ainsi de suite pour Vénus et Mercure.

Utilisation de ce planétaire.

On a déjà pu observer au cours de la réalisation que plus les planètes sont proches du Soleil plus elles tournent vite autour de lui.
On peut utiliser cet objet pour déterminer la visibilité de ces planètes à une date fixée. Sur le dessin suivant on a représenté les planètes Vénus, Terre et Mars approximativement à leur position du 1er mai 2005.
Les droites 1, 2, 3 et 4 représentent la ligne de partage entre ce qui est vu et pas vu par un observateur sur Terre placé aux points où ces droites sont tangentes à la Terre. Celle-ci tourne sur elle même dans le sens direct.
Pour la position 1 (droite 1), le Soleil vient de se coucher et, tout près de l'horizon ouest, on peut voir Vénus. Par contre Mars n'est pas visible.
Pour la position 2 aucune de ces deux planètes n'est visible.
Pour la position 3, Mars s'est levé à l'est depuis peu, en deuxième partie de nuit.
Pour la position 4, Vénus et Mars sont visibles à priori, mais il fait jour puisque le Soleil est aussi de ce côté de la droite et donc le ciel est trop clair pour que ces planètes soient vues à l'œil nu.

La justesse des prévisions dépend de la précision de la réalisation et de la remise à jour, au moins annuelle, de la valeur des longitudes écliptiques héliocentriques.
On peut reproduire ce planétaire à plus grande échelle dans une cours d'école et l'utiliser en plaçant les enfants sur la position des planètes. Un enfant, placé sur la Terre, les bras étendu latéralement pourra dire quels objets seront visibles, devant lui, au fur et à mesure qu'il tournera sur lui même, simulant le mouvement diurne.