Invariance de l'électrodynamique

Corrigé

Cas de la transformation de Galilée.
La différentielle totale d'une quantité X quelconque s'écrit :

On peut l'écrire aussi avec les coordonnées x', t' :

Remplaçons dans cette expression dt' et dx' par leurs expressions tirées de la transformation de Galilée, c'est-à-dire dt'=dt et dx'=dx - vdt, on obtient: 

En identifiant avec notre première équation on trouve que la transformation de Galilée conduit aux opérateurs suivants :

Appliquons ces opérateurs à l'équation de propagation :

Et

Continuons d'appliquer l'opérateur  à :  et à 

Après simplification on obtient :

Nous avons tous les éléments pour écrire l'équation de propagation :

Les deux derniers termes de l'expression montrent que la transformation n'est pas invariante. C'était un problème grave des équations de l'électrodynamique.

Cas de la transformation de Lorentz.

En faisant exactement la même chose avec la transformation de Lorentz on trouve le résultat suivant pour les opérateurs de dérivation partielle :

En appliquant ces nouveaux opérateurs aux termes de l'équation de propagation on trouve le résultat suivant :

On a de même pour le terme dérivé par rapport au temps :

On peut écrire finalement l'équation des ondes après simplification :

Ce qui s'écrit finalement :

Et compte tenu de l'expression de  :

L'équation est bien invariante dans une transformation de Lorentz. La relativité restreinte et la transformation de Lorentz réconciliaient l'électrodynamique et la mécanique.

GP