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La parallaxe horizontale

Soit un point B de la Terre et un astre A que l'on voit à l'horizon.
La hauteur zénithale est alors de 90°. si on était au centre de la Terre la hauteur zénithale serait alors z < 90°.
On appelle parallaxe horizontale l'angle a = 90°- z
On voit que c'est aussi l'angle TAB (fig 1)

sin a = R/d mais a < 1° on peut donc écrire a = R/d.

La parallaxe de hauteur

Si l'astre n'est pas sur l'horizon, mais est vu avec une hauteur zénithale z',
on appelle parallaxe de hauteur l'angle p = z' - z (fig 2)
C'est encore l'angle TAB

La parallaxe est un angle que l'on ne peut pas mesurer directement, c'est un intermédiaire de calcul.

Dans le triangle TAB on a : ( sin z ) / d = ( sin p ) /R = p/R puisque p < 1°

d'où p = ( R/d ) x sin z = a sin z

Cette relation relie trois intermédiaires de calcul qui ne sont pas directement mesurables.

Déclinaison vraie et déclinaison apparente.

Pour les planètes, dont la parallaxe n'est pas nulle,il faut distinguer la déclinaison vraie D par rapport au centre de la Terre et la déclinaison apparente D' que l'on peut mesurer.
On voit que les deux déclinaisons sont égales si le planète passe au zénith ( fig 3 ).

z' + D' = z + D = latitude de B; soit : D' = D - ( z' - z ) = D - a sin z

Un élément perturbateur inévitable : La réfraction atmosphérique

L'atmosphère terrestre n'est ni homogène, ni isotrope. La lumière ne se propage pas en ligne droite dans un tel milieu transparent. Les rayons lumineux qui proviennent des astres, s'incurvent en arrivant au voisinage du sol. Les astres ne sont donc pas là où on les voit. La hauteur zénitale mesurée est plus petite que la hauteur zénitale vraie comme le montre la figure suivante.

Il fallait donc trouver un moyen pour éliminer l'erreur de mesure due à l'atmosphère terrestre: C'est la méthode différentielle.

La méthode différentielle

Elle consiste à repérer une étoile voisine de la planète dont on veut mesurer la parallaxe et à mesurer la différence des coordonnées des deux astres. Pour comprendre simplement le principe de la méthode, on se placera dans le cas le plus simple, et on supposera que la planète et l'étoile passent en même temps par le méridien du lieu. On peut toujours en théorie choisir un lieu où cela se produit.

On se trouve alors dans le cas de la figure suivante:

La mesure de l'écart angulaire e entre l'étoile et la planète n'est pas perturbée par la réfraction atmosphérique puisque les deux directions angulaires sont très voisines. La mesure complète nécessitait deux observateurs placés sur le même méridien, l'un dans l'émisphère Nord et l'autre dans l'émisphère Sud. Chaque observateur mesurait la hauteur zénitale de la planète ainsi que l'écart angulaire par rapport à l'étoile choisie. De ces quatre mesures on déduisait la parallaxe de la planète.

Le calcul complet.

D est la déclinaison de la planète.
D1 est la déclinaison mesurée.
D - D1 = P1
mais P1 = (R / d) sin ZD1 = (R / d) sin ( l - D1 ) = a sin ( l- D1 )
Pour l'observateur placé en B on a : D1 = D - a sin Z1
Pour l'observateur placé en C on a : D2 = D - a sin Z2
Si on observe une étoile en même temps on obtient pour elle : D'1 = D'2 = D'. Puisque l'étoile est à l'infini et que sa parallaxe est nulle.
Puisque la planète et l'étoile sont voisines, leur déclinaison est peu différente.
On a donc: D' = D + d
D1 - D = D1 - D' - d
D2 - D = D2 - D' - d
On mesure D1 - D' = e1 et D2 - D' = e2
D1 - D =e1 - d = - a sin Z1
D2 - D =e2 - d = - a sin Z2
D1 - D2 = e1 - e2 = - a ( sin Z1 - sin Z2 ). d'où le résultat final :

a = ( e1 - e2 ) / ( sin Z2 - sin Z1 )

C'est la méthode différentielle.
L'erreur due à la réfraction atmosphérique est négligéable sur e1 et e2 car ce sont des angles ne dépassant pas quelques minutes. Il y a par contre une erreur de quelques minutes sur Z1 et sur Z2 mais Z1 et Z2 sont de signe contraire et l'erreur finale sur la somme des sinus est négligeable.
On constate qu'il n'est pas nécessaire de connaître les latitudes des lieux d'observation.

La mesure historique pour la planète Mars.

Le 5 octobre 1751 La Caille au Cap de Bonne Espérance mesura e1 = 1' 25'' pour l'étoile l du Verseau et Z1=68°
En même temps, Lalande à Stockholm trouva e2 = 1' 57'' et Z2 = - 25° pour la même étoile.
La formule précedente donne : e1 - e2 = 32''

a = ( 32") / ( sin68° + sin 25° ) = 23" 6

Télécharger (11Mo) les mesures de Lacaille au Cap (Lune, Vénus, Mars)

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